13 סוגים של פונקציות מתמטיות (ואת המאפיינים שלהם)

מתמטיקה היא אחת הדיסציפלינות המדעיות הטכניות והאובייקטיביות ביותר הקיימות. זהו המסגרת העיקרית שממנה יכולים ענפי מדע אחרים לערוך מדידות ולפעול עם משתני היסודות שהם לומדים, באופן שמלבד משמעת כשלעצמה הוא מניח ליד ההיגיון אחד מבסיסי ידע מדעי.

אבל בתוך המתמטיקה נלמדים תהליכים ותכונות מגוונים מאוד, בינם לבין עצמם היחס בין שני גדלים או תחומים מקושרים, שבהם תוצאה קונקרטית מתקבלת הודות לערך של אלמנט קונקרטי. זה על קיומו של פונקציות מתמטיות, אשר לא תמיד יש את אותה דרך להשפיע או קשורים זה לזה.

זו הסיבה אנחנו יכולים לדבר על סוגים שונים של פונקציות מתמטיות, אשר אנו הולכים לדבר לאורך מאמר זה.

• מאמר קשור: "14 חידות מתמטיות (ופתרונותיהן)"

פונקציות במתמטיקה: מה הם?

לפני הולך להקים את הסוגים העיקריים של פונקציות מתמטיות הקיימות, כדאי לעשות מבוא קטן כדי להבהיר על מה אנחנו מדברים כאשר אנחנו מדברים על פונקציות.

פונקציות מתמטיות מוגדרות כ הביטוי המתמטי של היחסים בין שני משתנים או גדלים. משתנים אלה מסומלים מן האותיות האחרונות של האלפבית, X ו- Y, בהתאמה מקבלים את שם התחום ואת הקוד.

קשר זה בא לידי ביטוי באופן כזה שהם נראים לשוויון בין שני הרכיבים ניתחו, ובדרך כלל הדבר כי על כל אחד מהערכים של X קיימת תוצאה ייחודית של Y ולהיפך (אם כי ישנם סיווגים של פונקציות שאינן עומדות עם דרישה זו).

כמו כן, פונקציה זו מאפשר יצירת ייצוג בצורה של גרפיקה אשר בתורו מאפשר חיזוי ההתנהגות של אחד המשתנים מאחד, וכן את המגבלות האפשריות של קשר זה או שינויים בהתנהגותו של המשתנה האמור.

כפי שזה קורה כאשר אנחנו אומרים שמשהו תלוי או הוא פונקציה של משהו אחר (למשל, אם ניקח בחשבון הפתק שלנו על המבחן במתמטיקה מבוסס על מספר השעות כדי ללמוד), כאשר אנו מדברים על פונקציה מתמטית אנו מציינים כי קבלת ערך מסוים תלויה בערך של אחר הקשור אליו.

למעשה, הדוגמה הקודמת עצמה ניתנת לביטוי ישירות בצורה של פונקציה מתמטית (אם כי בעולם האמיתי היחסים הרבה יותר מורכבים שכן הוא באמת תלוי במספר גורמים ולא רק במספר השעות שנלמדו).

סוגים עיקריים של פונקציות מתמטיות

כאן אנו מראים כמה סוגים עיקריים של פונקציות מתמטיות, מסווגים לקבוצות שונות על פי התנהגותם וסוג היחסים בין המשתנים X ו- Y.

1. פונקציות אלגבריות

פונקציות אלגבריות מובנות כסוג של סוגים של פונקציות מתמטיות המאופיינות על ידי יצירת קשר אשר מרכיביו הם מונומים או פולינומים, ו אשר מערכת היחסים שלהם מתקבלת באמצעות ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות יחסית: חיסור נוסף, כפל, חלוקה, potentiation או הקמת (שימוש בשורשים). בתוך קטגוריה זו אנו יכולים למצוא סוגים רבים.

1.1. פונקציות מפורשות

פונקציות מפורשות נתפסות כאלו סוגים של פונקציות מתמטיות שאת הקשר ניתן להשיג ישירות, פשוט על ידי החלפת התחום x עבור הערך המקביל. במילים אחרות, היא פונקציה שבה ישירות אנו מוצאים שוויון בין הערך של יחס מתמטי שבו המשפיע על x.

1.2. פונקציות משתמעות

בניגוד לאמור לעיל, בתוך פונקציה סתומה הקשר בין תחום codomain לא הוקמה ישירות, להיות טרנספורמציות שונות הדרושים פעולות מתמטיות על מנת למצוא את הדרך x ו- y הם קשורים.

1.3. פונקציות פולינומיות

פונקציות פולינומיות, המובנות לעתים כמקושרות לתפקודים אלגבריים ואחרות כתת-קבוצה של אלה, משלבות את קבוצת סוגי הפונקציות המתמטיות שבהן כדי להשיג את הקשר בין תחום ו Codomain, יש צורך לבצע פעולות שונות עם פולינומים בדרגות שונות.

פונקציות לינאריות או כיתה א 'הן כנראה הסוג הפשוט ביותר של פונקציה לפתרון והן מהראשון שנלמד. אצלם יש פשוט מערכת יחסים פשוטה שבה הערך של x יפיק ערך של y, והייצוג הגרפי שלה הוא קו שצריך לחתוך את ציר הקואורדינטות בשלב כלשהו. הווריאציה היחידה תהיה המדרון של הקו האמור ואת הנקודה שבה הוא חותך את הציר, תמיד לשמור על אותו סוג של יחסים.

בתוכם אנו יכולים למצוא את פונקציות הזהות, שבו יש זיהוי בין תחום וקודומין כך ערכים הן תמיד אותן (x = y), פונקציות לינאריות (שבה רק להתבונן וריאציה של המדרון, y = mx) פונקציות נלוות (שיכול למצוא שינויים לתוך בקעי abscissa ו מדרון, y = mx + א).

הפונקציות הריבועיות או התואר השני הן אלו שמכניסות פולינום שבו משתנה יחיד הוא בעל התנהגות לא ליניארית לאורך זמן (במקום ביחס לקודומין). מגבול מסוים הפונקציה נוטה לאינסוף באחד הצירים. הייצוג הגרפי הוא פרבולה, ומתבטאת במתמטיקה כמו y = ax2 + bx + c.

פונקציות קבועות הן אלה שבהן מספר ריאלי יחיד הוא הקובע של הקשר בין תחום וקודומין. כלומר, אין וריאציה אמיתית בהתאם לערך של שניהם: קודומין תמיד יהיה קבוע, אין משתנה תחום שיכול להכניס שינויים. פשוט, y = k.

• אולי אתה מעוניין: "דיסקלקוליה: הקושי כשמדובר במתמטיקה למידה"

1.4. פונקציות רציונליות

הם נקראים כפונקציות רציונליות למערך התפקודים שבו ערך הפונקציה נקבע מתוך מנה בין פולינומים שאינם אפס. בפונקציות אלה התחום יכלול את כל המספרים למעט אלה המבטלים את המכנה של החלוקה, אשר לא יאפשר לקבל ערך.

בסוג זה של פונקציות מופיעות גבולות המכונה אסימפטוטים, אשר יהיה בדיוק אותם ערכים שבהם לא יהיה שום תחום או ערך קודומין (כלומר, כאשר y ו- x שווים 0). במגבלות אלה, ייצוגים גרפיים נוטים אינסופי, מבלי לגעת גבולות אמר. דוגמה לסוג זה של פונקציה: y = √ גרזן

1.5. פונקציות לא רציונליות או רדיקליות

נקרא פונקציות רציונליות של קבוצת פונקציות שבן פונקציה רציונלית מופיעה הציגה לתוך רדיקלי או שורש (שאינו אמורים להיות מרובע, שכן היא עשויה להיות קובייתי או מעריך אחר).

כדי להיות מסוגל לפתור את זה יש לזכור כי קיומו של שורש זה מטיל הגבלות מסוימות, כמו למשל את העובדה כי ערכי x תמיד צריך לגרום לתוצאה של השורש להיות חיובי גדול או שווה לאפס.

1.6. פונקציות שהוגדרו על ידי חתיכות

זה סוג של פונקציות הם אלה שבהם הערך של y משנה את ההתנהגות של הפונקציה, יש שני מרווחים עם התנהגות שונה מאוד המבוססת על הערך של התחום. לא יהיה ערך שלא יהיה חלק מזה, אשר יהיה הערך שממנו ההתנהגות של הפונקציה שונה.

2. פונקציות Transcendent

הפונקציות הטרנסצנדנטיות הן ייצוגים מתמטיים של יחסים בין גודלם שאינם ניתנים להשגה באמצעות פעולות אלגבריות, ואשר יש צורך לבצע תהליך חישוב מורכב כדי להשיג את מערכת היחסים שלהם. זה כולל בעיקר פונקציות הדורשות שימוש בנגזרים, אינטגרלים, לוגריתמים או שיש להם סוג של צמיחה כי הוא גדל או יורד ברציפות.

2.1. פונקציות אקספוננציאליות

כפי שצוין בשמה, פונקציות מעריכות הן מערכת של פונקציות המקימות מערכת יחסים בין תחום וקודומין, שבה נקבעת מערכת יחסים של צמיחה ברמה המעריכית, כלומר, צמיחה מואצת יותר ויותר. הערך של x הוא המעריך, כלומר, הדרך שבה ערך הפונקציה משתנה וגדל עם הזמן. הדוגמה הפשוטה ביותר: y = ax

2.2. פונקציות יומן

הלוגריתם של כל מספר הוא המעריך אשר יהיה צורך להעלות את הבסיס המשמש כדי להשיג את המספר הספציפי. לפיכך, הפונקציות הלוגריתמיות הן אלה שבהן אנו משתמשים בתור תחום המספר שיש לקבל עם בסיס ספציפי. זהו המקרה ההפוך וההפוך של הפונקציה המעריכית.

הערך של x חייב תמיד להיות גדול מאפס ושונה מ -1 (כיוון שכל לוגריתם עם בסיס 1 שווה לאפס). הגידול של הפונקציה יורד ככל שהערך של x עולה. במקרה זה y = loga x

2.3. פונקציות טריגונומטריות

סוג של פונקציה המכוננת את הקשר המספרי בין האלמנטים השונים המרכיבים משולש או דמות גיאומטרית, ובמיוחד את היחסים הקיימים בין זוויותיה של דמות. בתוך פונקציות אלה אנו מוצאים את החישוב של סינוס, cosine, משיק, secant, cotangent ו cosecant לפני ערך נקבע x.

סיווג נוסף

קבוצת סוגי הפונקציות המתמטיות שהוסברו לעיל מביאה בחשבון שלכל ערך של התחום ערך ייחודי של הקודומין מתאים (כלומר, כל ערך של x יגרום לערך ספציפי של y). עם זאת, אם כי עובדה זו נחשבת בדרך כלל בסיסי בסיסי, העובדה היא כי ניתן למצוא כמה סוגים של פונקציות מתמטיות שבהן עשוי להיות קצת סטייה ככל התכתובת בין x ו- y מודאגים. באופן ספציפי אנו יכולים למצוא את סוגי הפונקציות הבאות.

1. פונקציות זריקה

שם הפונקציות הזרקתיות הוא סוג של יחסים מתמטיים בין תחום לקודומין, שבהם כל אחד מהערכים של קודומין מקושר רק לערך של התחום. כלומר, x יוכל רק להיות בעל ערך יחיד עבור ערך ונקבע, או שאין לו ערך (כלומר, ערך מסוים של x אינו קשור ל- y).

2. פונקציות Surjective

פונקציות הסרג'סטיב הן כולן כל אחד מהאלמנטים או הערכים של הקודומין (y) קשורים לפחות לאחד מהתחומים (x), למרות שהם יכולים להיות יותר. זה לא חייב להיות בהכרח הזרקת (כדי להיות מסוגל לקשר כמה ערכים של X לאותו ו).

3. פונקציות Bijective

סוג של פונקציה שבה הן תכונות הזרקת ו surjective ניתנים ככזה. אני מתכוון, יש ערך אחד של x עבור כל אחת, וכל ערכי הדומיין מתאימים לאחד מהקודומין.

4. לא הזרקת ו non-surjective פונקציות

זה סוג של פונקציות עולה כי ישנם ערכים מרובים של התחום עבור codomain מסוים (כלומר, ערכים שונים של x ייתן לנו אותו Y) באותו זמן כי ערכים אחרים של y אינם מקושרים לערך כלשהו x.

הפניות ביבליוגרפיות:

• Eves, H. (1990). יסודות ותפיסות היסוד של המתמטיקה (מהדורה 3). דובר.
• Hazewinkel, M. ed. (2000). אנציקלופדיה של מתמטיקה. הוצאת קלואר.